Medidas de posição para distribuição de frequências

Nos tópicos anteriores, vimos como calcular média, mediana e moda para lista e para dados tabulados, que são cálculos mais simples. Agora veremos como calcular estas medidas de posição, mais algumas novas, aplicadas à distribuição de frequências.

Além da moda, mediana e média aritmética, temos as chamadas separatrizes (que não caem especificamente no programa do concurso para Receita Federal): o quartil, o decil e o percentil, que dividem a série em partes iguais (quatro, dez e cem respectivamente).

1. Cálculo da Média para distribuição de frequências

Os dados estão agrupados, nesse caso, em classes, e devemos calcular a média a partir da distribuição de frequência correspondente a cada classe. Cada classe tem um ponto médio (PM), que é igual à metade da soma de seus limites inferior e superior. Conforme o exemplo abaixo:

Xi (fi)
0,0|----2,0 (15)
2,0|----4,0 (25)
4,0|----6,0 (13)
6,0|----8,0 (37)
8,0|----10,0 (10)

Neste exemplo, os pontos médios (PMs) das classes são respectivamente 1, 3, 5, 7 e 9. O número total de elementos (n) é a soma de todas as fi, no caso 100. Aplicando a fórmula, teríamos:
_
X = SOMA(PMi.fi)/n =>
=> 1.15 + 3.25 + 5.13 + 7.37 + 9.10 / 100 =>
=> 15 + 75 + 65 + 259 + 90 / 100 => 504 / 100 => 5,04

Esta é a média para esta distribuição de frequências.

2. Cálculo da Mediana para distribuição de frequências

Utilizando o mesmo exemplo do cálculo da Média:

Xi (fi) [F ac]
0,0|----2,0 (15) [15]
2,0|----4,0 (25) [40]
4,0|----6,0 (13) [53]
6,0|----8,0 (37) [90]
8,0|----10,0 (10) [100]

Deve-se utilizar a frequência acumulada (F ac) para localizar a posição central do conjunto (divide-se por 2 o total de elementos n):

No caso, n = 100, e por conta disso, a posição central é 50. Para localizar a classe na qual se encontra a posição 50, devemos buscar a primeira frequência acumulada superior a este valor - no caso, 53, referente a classe 4,0|--6,0.

O limite inferior (l inf) da classe é 4,0. A frequência acumulada da classe anterior à classe mediana (Fac ant) é 40. A frequência mediana (fi) é 13. O intervalo (h) da classe mediana é 2,0 (6,0 - 4,0). São estes os dados necessários para a fórmula abaixo:

Md = (l inf) + [(n/2) - (Fac ant)/fi] . h =>
=> 4,0 + [(100/2 - 40)/13] . 2 =>
=> 4,0 + [(50-40)/13] .2 =>
=> 4,0 + (10/13) . 2 =>
=> 4,0 + 20/13 =>
=> 4,0 + 1,54 => Md = 5,54 (arredondamento por 2 casas decimais).

Esta é a mediana para esta distribuição de frequências.

3. Cálculo da Moda para distribuição de frequências

Utilizando o mesmo exemplo do cálculo da Média e da Mediana:

Xi (fi)
0,0|----2,0 (15)
2,0|----4,0 (25)
4,0|----6,0 (13)
6,0|----8,0 (37)
8,0|----10,0 (10)

Primeiro, localiza-se a classe modal (a que apresenta maior frequência simples). No caso, é a 6,0|--8,0, com (fi) = 37. Desde já, alguns dados desta classe serão utilizados na fórmula:

Frequência da classe anterior (f ant): 13
Frequência da classe posterior (f post): 10
Limite inferior da classe modal (l inf): 6,0
Intervalo da classe modal (h): 2,0 (8,0 - 6,0)

Aplicando a fórmula (Método de Czuber), você tem a fórmula abaixo:

Mo = (l inf) + [(fi - f ant) / (fi - f ant) + (fi - f post)] . h =>
=> 6,0 + [(37 - 13) / (37-13) + (37 - 10)] . 2,0 =>
=> 6,0 + ( 24 / 24 + 27 ) . 2,0 =>
=> 6 + ( 24/51 ) . 2 =>
=> 6 + 48/51 => Mo = 6,94 (arredondamento por 2 casas decimais).

Esta é a moda para esta distribuição de frequências.